Bifurkation

Die Bifurkation beschreibt in der Mathematik einen Punkt, an dem sich das Verhalten eines dynamischen Systems plötzlich ändert. Ein Beispiel ist das logistische Wachstum: Verändert man den Parameter leicht, kann sich das System von stabiler Ordnung in chaotisches Verhalten wandeln. Bifurkationen markieren Übergänge zwischen solchen Zuständen. In der Physik, Biologie und Technik helfen sie, Kipppunkte zu erkennen – etwa bei Klima- oder Populationsmodellen. Einfache Gleichungen können so komplexe, faszinierende Muster erzeugen. Besonders anschaulich zeigt sich das in der Bifurkationsdiagramm-Darstellung, in der stabile und instabile Zustände sichtbar werden.

# Definiere den Bereich für den Parameter a
a_values = srange(-0.5, 2, 0.001)

# Anzahl der Iterationen
N = 200

# Liste für die Punkte, die geplottet werden sollen
points = []

# Berechne die Folge für jeden Wert von a
for a in a_values:
    x = 0  # Startwert x_0
    for n in range(N):
        points.append((a, x))  # Füge den Punkt (a, x) der Liste hinzu
        x = 1*x**2 - a  # Berechne x_n+1

# Erzeuge den Plot mit kleineren Punkten
p = list_plot(points, plotjoined=False, marker='o', color='blue', size=1)  # Größe der Punkte anpassen
p.show(ymin=-2, ymax=2, figsize=[8, 6], title="Punkte der Folge für verschiedene Werte von a")